จุดศูนย์รวมของการศึกษา: ความรู้สึกเชิงจำนวน คืออะไร เพราะเหตุใด และเป็นอย่างไร

คณิตศาสตร์คือศาสตร์ที่มีการเปลี่ยนแปลงอย่างคงที่ วิธีการของเราในการรับรู้และเข้าใจแนวคิดทางคณิตศาสตร์ มีความเชื่อมโยงกับเครื่องมือและเทคโนโลยีที่มีในปัจจุบัน ในช่วงเวลาที่สมาร์ทโฟนที่คุณพกติดตัวมีพลังการประมวลผลมากกว่าเครื่องจักรที่สามารถส่งมนุษย์ไปเยือนดวงจันทร์ เราควรต้องไตร่ตรองถึงทักษะคณิตศาสตร์ที่นักเรียนในปัจจุบันต้องมีเพื่อให้พวกเขาสามารถอยู่ในโลกของวันพรุ่งนี้ได้

แง่หนึ่งของการคิดเชิงคณิตศาสตร์ที่กำลังได้รับความสนใจจากหมู่นักการศึกษาคณิตศาสตร์คือ ความรู้สึกเชิงจำนวน สามคำ หกพยางค์ และเป็นสิ่งที่ก่อให้เกิดคำถามมากมาย: ความรู้สึกเชิงจำนวนคืออะไร และเป็นอะไรที่ใหม่หรือไม่ นี่หมายความว่าเราต้องทิ้งตารางเวลาเดิมๆ หรือไม่ เราสามารถพัฒนาความรู้สึกเชิงจำนวนได้หรือไม่ เราต้องใช้กลยุทธ์ใดเพื่อให้เกิดประสิทธิภาพที่สุดในการสอน

อ่านต่อเพื่อหาคำตอบ และวิเคราะห์คำถามอีกสองสามข้อไปพร้อมๆ กัน

ความรู้สึกเชิงจำนวนคืออะไร

หากคุณต้องการทำความเข้าใจกับความรู้สึกเชิงจำนวนและเหตุใดความรู้สึกเชิงจำนวนจึงมีความสำคัญ ก่อนอื่นเลยเราขอให้คุณพิจารณาหลักการที่มีความหมายตรงกันข้าม นั่นคือ ความยึดติดเชิงกระบวนการ (procedural fixedness) มีนักเรียนจำนวนนับไม่ถ้วนที่ดำเนินขั้นตอนทางคณิตศาสตร์ด้วยความรวดเร็วและแม่นยำ แต่ไม่สามารถตอบคำถามได้เมื่อต้องใช้ความรู้เดียวกันในบริบทที่ไม่ค่อยคุ้นเคย ในการศึกษาที่มีชื่อเสียงโดย Kurt Reusser สามในสี่ของนักเรียนเสนอคำตอบที่เป็นตัวเลขสำหรับคำถามต่อไปนี้:

มีคนเลี้ยงแกะจำนวน 125 คนและสุนัขจำนวน 5 ตัวในหนึ่งฝูง คนเลี้ยงแกะมีอายุเท่าไร

แน่นอนว่าเราไม่สามารถคำนวณอายุของคนเลี้ยงแกะจากข้อมูลที่ได้รับมาได้ ลองเดาคำตอบที่นักเรียนเสนอดูสิ 120 130 25 และ 625 คือคำตอบที่นักเรียนให้ ซึ่งคำตอบเหล่านี้สามารถหาได้อย่างง่ายดายโดยการนำตัวเลขสองตัวที่ได้จากข้อมูล มาใช้ในการคำนวณด้วยการดำเนินการมาตรฐานของคณิตศาสตร์ เมื่อฉันถามหลานชายของฉัน เขาถึงกับตอบว่า 30 เศษ 2 แม้ว่าฉันยังไม่สามารถระบุวิธีคำนวณของเขาที่ทำให้ได้ตัวเลขนี้เลย

ความรู้สึกเชิงจำนวนเป็นยาแก้พิษสำหรับการคำนวณแบบไร้เหตุผลประเภทนี้ การมีความรู้สึกเชิงจำนวน คือการใช้ตัวเลขอย่างยืดหยุ่นและคล่องตัว และมีสัญชาตญาณที่แข็งแกร่งและเชื่อถือได้ต่อพฤติกรรมของตัวเลข กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือการมีความรู้สึกต่อจำนวน คุณอาจพิจารณาแนวคิดแบบองค์รวมมากเกินไปสำหรับหัวข้อที่ควรจะมีความเทียงธรรมนี้ แต่ความรู้สึกเชิงจำนวนคือเครื่องหมายการจำกัดความของนักคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน ยุคของ ‘คอมพิวเตอร์มนุษย์’ ได้ผ่านพ้นไปนานแล้ว ในปัจจุบันเราไม่ได้จ้างมนุษย์เพื่อความสามารถในการคำนวณเพียงอย่างเดียวอีกต่อไป เพราะเรามีเครื่องคิดเลขสำหรับสิ่งนั้น ที่ซึ่งมนุษย์สามารถเป็นเลิศได้คือการตรวจสอบว่าการคำนวณเหล่านั้นมีความสมเหตุสมผลภายในบริบทที่กำลังนำมาใช้หรือไม่ ยกตัวอย่างเช่น ความรู้สึกเชิงจำนวนคือสิ่งที่จะเตือนคุณเกี่ยวกับธุรกรรมที่น่าสงสัยที่อาจเกิดขึ้นได้ในยุคที่ไม่ต้องมีการสัมผัส คุณจะรู้ว่าคุณถูกเรียกเก็บเงินเกินราคาสำหรับอาหารค่ำ ถ้าคุณมีความรู้สึกที่ดีว่าค่าอาหารควรจะเท่ากับเท่าไร ถึงแม้ว่าคุณจะไม่ได้ตรวจสอบค่าอาหารที่แท้จริงก็ตาม

พัฒนาความรู้สึกเชิงจำนวน

ข่าวดีก็คือมนุษย์มีความรู้สึกเชิงจำนวนโดยธรรมชาติ ทารกได้แสดงให้เห็นถึงความสามารถในการแยกแยะปริมาณขั้นพื้นฐาน: เด็กทารกสามารถแยกแยะระหว่าง 2 กับ 3 ได้ และภายในหกเดือนพวกเขาสามารถจับคู่จำนวนเสียงจังหวะกับวัตถุที่มีจำนวนเท่ากันได้ อย่างไรก็ตาม แม้ในวัยผู้ใหญ่ เราจะมีสายตาที่แม่นยำกับวัตถุเพียงสี่ชิ้นเท่านั้น ยิ่งไปกว่านั้น เรายังอาศัยความรู้สึกเชิงการประมาณที่ฝังลึก จากการพัฒนาอย่างเป็นทางการของระบบคณิตศาสตร์เท่านั้น เช่น การนับและค่าประจำหลัก ที่เราจะสามารถจัดการกับปริมาณที่มากขึ้นได้อย่างแม่นยำ การเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน ยึดหลักระบบเหล่านี้ ที่ก่อเกิดขึ้นมาหลายศตวรรษที่แล้ว เมื่อกำลังเรียนและสอนระบบเหล่านั้น เราจะต้องไม่ละเลย ความรู้สึกเชิงจำนวน ที่อยู่ในสัญชาตญาณของเรา

ความรู้สึกเชิงจำนวนของเราไม่ได้ให้สิทธิ์เราในการทิ้งตารางเวลาหรือกระบวนการทางคณิตศาสตร์ แต่เป็นโอกาสที่จะมีส่วนร่วมกับโครงสร้างเหล่านั้น เพื่อเสริมสัญชาตญาณของเราเกี่ยวกับจำนวน หากการคูณถูกลดเหลือเป็นพิธีกรรมของการท่องจำข้อเท็จจริง เราได้วิธีการคำนวณของคนเลี้ยงแกะที่ไร้สติ แต่เมื่อเรานำการรับรู้ข้อเท็จจริงและกระบวนการการคำนวณ มาใช้ร่วมกันโดยการเน้นการทำความเข้าใจ เราก็จะได้การคำนวณที่มีประสิทธิภาพ: ความคล่องแคล่วในการคำนวณที่มีความยืดหยุ่นในการนำข้อเท็จมาใช้กับกระบวนการคำนวณได้อย่างยืดหยุ่น

เรามีเทคนิคการสอนมากมายที่จะช่วยให้นักเรียนสามารถบรรลุความสมดุลที่ดีนี้

ค้นหาการ นำเสนอที่มีประสิทธิภาพ ซึ่งสื่อถึงรูปแบบพื้นฐานของจำนวน ( นี่คือการนำเสนอต่างๆ ที่น่าสนใจเกี่ยวกับตารางเวลา ) การนำเสนอควรมีความหลากหลายเพื่อให้นักเรียนได้ฝึกทักษะกับจำนวนในบริบทต่างๆ นอกจากนี้ เลือก ใช้ภาษาอย่างรอบคอบ ที่จะช่วยให้นักเรียนทำความเข้าใจกับที่มาของแนวคิดทางคณิตศาสตร์ ยกตัวอย่างเช่น คุณทราบหรือไม่ว่าคำว่า ‘การคำนวณ’ มาจากคำว่า ‘แคลคูลัส’ ซึ่งเป็นภาษาละตินที่มีความหมายว่า กรวด คุณอาจจะถามว่า ทำไมถึงต้องเป็นก้อนกรวด ลองนึกย้อนกลับไปถึงระบบการนับดั้งเดิมที่บรรพบุรุษของเราใช้ ก้อนกรวดเป็นตัวแทนของเวลาสำหรับพวกเขา คำพูดที่ว่า นักเรียนต้องพึ่งพาเครื่องคำนวณของวันนี้ ไม่ได้หมายความว่าพวกเขาต้องพึ่งพาหรือไม่พึ่งพาเลย แต่พวกเขาต้องพึ่งพามากน้อยแค่ไหน คุณไม่ต้องการให้นักเรียนพึ่งพาเครื่องคิดเลขในการคำนวณผลรวมที่มีความพื้นฐานที่สุด แต่ในขณะเดียวกัน การบังคับให้พวกเขาเสียเวลากับการคำนวณเลขจำนวนมาก ทั้งๆ ที่คอมพิวเตอร์สามารถให้คำตอบที่แม่นยำภายในหนึ่งวินาที ก็ถือเป็นสิ่งไร้ประโยชน์เช่นกัน ทั้งนี้ เครื่องคำนวณกราฟก็ยังสามารถแสดงสิ่งที่กำลังคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพเช่นกัน สุดท้ายนี้ เราจำเป็นต้อง ขยายโลกทัศน์ทางคณิตศาสตร์ของนักเรียนให้มากกว่าคำถามแนวปิด ที่มีเพียงคำตอบที่ถูกหรือผิดเพียงคำตอบเดียว แน่นอนว่าความเที่ยงตรงและความแม่นยำคือเป้าหมายหลัก แต่การพัฒนาความรู้สึกที่ประกอบการคาดเดาที่สมเหตุสมผลก็เช่นกัน

กิจกรรมความรู้สึกเชิงจำนวน

โดยคำนึงถึงเป้าหมายเหล่านี้ ต่อไปนี้คือกิจกรรม 4 กิจกรรมที่ได้รับการคัดสรรมาเพื่อส่งเสริมความรู้สึกเชิงจำนวน:

• ปัญหาของ Fermi: เราตั้งชื่อกิจกรรมนี้ตามนักฟิสิกส์ Enrico Fermi โดยในการแก้โจทย์ปัญหาประเภทนี้ คุณจำเป็นต้องใช้ทักษะการประมาณค่าที่สมเหตุสมผลของคุณ ซึ่งเป็นการตั้งคำถามที่แทบจะไม่สามารถหาคำตอบที่ถูกต้องได้เลย ยกตัวอย่างเช่น “ตอนนี้มีแปรงสีฟันกี่อันในสหราชอาณาจักร” หรือ “คุณต้องใช้เหรียญกี่เพนนีจะเติมห้องเรียนของคุณให้เต็ม” โดยคำตอบมีความสำคัญน้อยกว่าวิธีการมากนัก: เพื่อให้ได้ค่าประมาณที่สมเหตุสมผล คุณต้องสร้างแบบจำลอง ตั้งสมมติฐาน และใช่ ดำเนินการคำนวณบางอย่างด้วยตนเอง จากนั้น คุณสามารถซักถามความสมเหตุสมผลของคำตอบสุดท้ายของคุณ โดยการใช้สัญชาตญาณหรือแนวทางแก้ปัญหาอื่นๆ ของคุณ

• นับถอยหลัง: เกมตัวเลขของเกมโชว์สุดคลาสสิกยังคงเป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพในการฝังทักษะการคำนวณที่คล่องแคล่วในบริบทที่น่าสนใจ เกมดังกล่าวมีความหลากหลายและสามารถนำไปปรับใช้ได้ในหลากหลายรูปแบบ (คุณเคยลองใช้ Countdown Fractions หรือไม่) นักเรียนไม่สามารถหลีกเลี่ยงความสำคัญของการใช้ข้อเท็จจริงและขั้นตอนของจำนวนได้อย่างยืดหยุ่น

• พูดคุยเรื่องจำนวน: ซึ่ง Cathy Humphrys ได้ทำให้เกมนี้เป็นที่รู้จัก เกมพูดคุยเรื่องจำนวน เริ่มต้นด้วยการคำนวณเลขง่ายๆ เช่น 5×18 และเชิญชวนให้นักเรียนเปรียบเทียบวิธีการคำนวณของพวกเขา นักเรียนบางส่วนจะใช้การแบ่งส่วน (partition) (5×10 + 5×8) และนักเรียนบางส่วนจะใช้ตัวแปร (5×20 – 5×2) ในขณะที่นักเรียนที่เหลือใช้เทคนิคสมมาตร (5×18 = 10×9) จุดมุ่งหมายของ พูดคุยเรื่องจำนวน คือการแสดงภาพและถกเถียงการคำนวณแต่ละวิธีเพื่อให้ได้ผลลัพธ์เดียวกัน

• การสำรวจ: มีจำนวนเชิงลึกมากกว่าที่นักคณิตศาสตร์มืออาชีพจะรับได้ ให้นักเรียนได้สัมผัสกับความลึกลับตลอดกาลของจำนวนเฉพาะผ่านการเล่นเกม Prime Climb ซึ่งเป็นเกมกระดานง่ายๆ ที่อิงข้อเท็จจริงพื้นฐานของจำนวนเฉพาะในการคำนวณการคูณ

ความรู้สึกเชิงจำนวนเป็นอาวุธที่นักคณิตศาสตร์เลือกใช้ในศตวรรษที่ 21 ซึ่งนี่ไม่ใช่แนวคิดใหม่ แต่ความสำคัญของความรู้สึกเชิงจำนวนไม่เคยมีความชัดเจนเท่านี้มาก่อน หลักสูตรการศึกษา เต็มไปด้วยโอกาสในการปลูกฝังความรู้สึกเชิงจำนวนควบคู่ไปกับการเน้นย้ำข้อเท็จจริงและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ตามปกติ เป้าหมายเหล่านี้สามารถส่งเสริมซึ่งกันและกันได้ ตราบใดที่คุณมีความพยายามที่จะรวมทั้งสองแนวทางไว้ในการสอนของคุณ